导数与微分
Andreo Y.
《微积分》第三章 导数与微分，第四章 微分中值定理与导数的应用 的若干定理与一些理解。
注意事项
概念
在题目比较奇怪的时候就用概念，概念总是不会错。特别是在未知能否求导的时候
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微商==导数；可导$\Leftrightarrow$可微
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导数的定义：$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$$$或$$$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
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在某处可导=左右导数存在且相等
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左右导数：
$$f_-’(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
$$f_+’(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
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微分的定义：$\Delta y=A\cdot \Delta x+o(\Delta x)$中的$A\cdot \Delta x$，dy是$\Delta y$ 的线性主部
基本运算法则
微分和导数的运算法则几乎完全一致，就是微分算完之后记得加上dx
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反函数求导法则：
$$(f^{-1})’(x)=\frac{1}{f’(y)}$$
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求反函数需要求到哪一步？dx/dy还是f-1(x)还是y也要代掉？好像只要到dx/dy。
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对数求导法，特别是针对幂指函数（当然也可以exp）
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{基本导数/微分公式表}\{浙江高考考纲要求}(csc和sec狗都不用)
$$(\cot x)’=-\frac{1}{sin^2x}$$
$$(\frac {1} {\sin x})’=-\frac{1}{\tan x\sin x}$$
$$(\frac {1} {\cos x})’=\frac{\tan x}{\cos x}$$
$$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}$$
不太基本求导方法
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隐函数求导：就把y看成关于x的函数，然后求就完事了。最后用别的东西表示y’，也不用把y什么的代掉。
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参数方程函数求导：
$$\frac{dy}{dx}={\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$$
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高阶导数
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莱布尼茨公式：
$$[u(x)v(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x) $$
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隐函数高阶导数：
和一般隐函数求导一样，就硬导，注意每个y或者y’都是关于x的函数就行
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参数方程二阶导数：
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{x’(t)y’’(t)-x’’(t)y’(t)}{[x’(t)]^3}$$
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微分中值定理
- 费马定理：极值+可导$\Rightarrow$导数为零
- 费马定理推论：最值+可导$\Rightarrow$导数为零
- 罗尔定理：闭区间连续+开区间可导+两端点函数值相等$\Rightarrow$区间内有导函数零点
- 广义罗尔定理：开区间连续可导+（左端点右极限==右端点左极限）$\Rightarrow$区间内有导函数零点。其中，极限也可以是$\pm \infty$
- 罗尔定理可用于解决函数零点个数问题，或通过构造原函数解决中值问题
- 拉格朗日中值定理：闭区间连续+开区间可导$\Rightarrow \exist \xi\in(a,b), s.t. f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
- 推论：区间内可导+导数为零$\Rightarrow$区间内常函数
- 常用于证明不等式或判断特殊点存在，非常强大（胡郝音），忏悔，感恩，相信！
- 柯西中值定理：f和g闭区间连续+开区间可导且g导数不为零$\Rightarrow \exist \xi\in(a,b), s.t. \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$
- 实质是拉格朗日中值定理的推广
- 可以对一个函数去$\xi$，然后对另一个采用构造的方法，求导后得到所需的式子（说不清
- 达布定理：闭区间可导，左端右导数<右端左导数$\Rightarrow$介值定理（只需要原函数可导，不要求导函数连续）
- 导函数的极限：导函数的左（右）极限=A$\Rightarrow$左（右）导数=A
- 推论1：邻域内连续，去心邻域可导，导函数左右极限相等，则该点可导且导数值等于极限
- 用来说明一些分段函数的分段处可导
- 推论2：可导区间内，导函数只能有振荡间断点
- 推论1：邻域内连续，去心邻域可导，导函数左右极限相等，则该点可导且导数值等于极限
洛必达法则
注意一定要$\frac 0 0 $或者$\frac {任意} \infty$
虽然极限不存在时不能用，但是既然要求，极限一般存在（如果真的不存在就把洛必达全部划掉）
泰勒展开
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前提是n阶导数存在，不要随便展
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展开公式：$$f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+余项$$
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皮亚诺型余项：$$o((x-x_0)^n)$$
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拉格朗日型余项：$$\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$其实就是再写一项，但是求导的位置变成x和x0之间的一处($\xi$)
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常用麦克劳林公式（$x_0=0$时的展开式），其余项的$\xi$常用$\theta x$表示，其中$\theta\in(0,1)$，要注意余项书写常会多一项与θ有关的系数
$$e^x=1+\frac x {1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}x^{n+1}}{(n+1)!}$$
$$ \sin x=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1) !}+(-1)^{n} \frac{\cos \theta x}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}$$
$$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}+(-1)^{n+1} \frac{\cos \theta x}{(2 n+2) !} x^{2 n+2}$$
$$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n} x^{n}+(-1)^{n} \frac{1}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}} x^{n+1}$$
$$(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+ $$ $$\frac{1}{(n+1) !} \alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \cdots(\alpha-n)(1+\theta x)^{\alpha-n-1} x^{n+1}$$
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\frac{(-1)^{n+1}}{(1+\theta x)^{n+2}} x^{n+1}$$
$$\arctan x=x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} {x}^{5}-\cdots+(-1)^{{n}} \frac{{x}^{2 {n}+1}}{2 {n}+1}+余项不太好写 \quad(-1 \leqslant {x} \leqslant 1)$$
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应用：近似计算，研究函数性态，求极限，证明不等式等
利用导数研究函数性态
- 极值判定方法
- 邻域连续，去心邻域可导，两侧导数异号
- 导数为零，看凹凸性；不能判定不可导点，需要额外讨论
- 凹凸性判定方法
- 一阶导数的单调性
- 二阶导数正负性，仅存在二阶导数时可用
- 渐近线：铅直渐近线，水平渐近线，斜渐近线
- 讨论函数性态：
- 定义域，奇偶性，周期性，特殊点
- 一阶导，二阶导，驻点，拐点，列表
- 渐近线，所有渐近线都要用极限证明一遍
- 作图