极限与连续

《微积分》第二章极限与连续的若干定理与一些理解。

数列极限

• 有界数列：既有上界又有下界（函数与此相同）
• 用定义证明数列极限：对$|数列-极限|$往大放缩，得到较简单的关于n的式子，使其小于$\varepsilon$，得到形如$n>f(\varepsilon)$的式子，根据放缩时n的条件，去$N=\max(放缩条件最小值，[f(\varepsilon)])$，则n>N时必有$|数列-极限|<\varepsilon$
• 无穷小量简称无穷小，不是数，而是数列或函数。同理有无穷大。
• 唯一性：如果一个数列的极限可以用A或B表示，则A=B
• 保序性：如果a数列的极限大于b数列，那么在n足够大时，$a_n>b_n$
• 保号性：如果a数列的极限为A，那么在n足够大时，$|a_n|>|\frac{A}{2}|$（两者同号）；n足够大时，$a_n$的符号可以决定A的符号。
  • 有界性和归并性我不知道它在干啥。其实保序性、保号性和唯一性也是，莫名其妙，显然的东西一定要搞得很复杂，还自认为是严谨。
• 数列极限存在判定：
  • 夹逼定理（可求极限）：分别往大和往小放缩，得到的两个数列极限相同，那么该数列极限就是这个极限。
  • 单调有界数列极限存在定理（用于判定极限存在）：单调增（减）+有上（下）界=收敛。这里的证明经常会用到放缩、数归等高中方法。
• 区间套定理：等价于确界存在定理和单调有界数列极限存在定理，对一般证明没什么用

函数极限

• 极限的定义是去心邻域中无限接近的值

• 左极限和右极限都为A$\Leftrightarrow$该处极限为A

• 用定义证明函数在$x_0$处的极限A：对任意正数$\varepsilon$，尝试找到一个用$\varepsilon$表示的$\delta$，取$0<|x-x_0|<\delta$，使得$|f(x)-A|$通过放大后得到的g(x)在$|x-x_0|=\delta$处恰好等于$\varepsilon$。简单来说就是把$|f(x)-A|$往大的放缩，让得到的式子仍然是无穷小，只是通过一个$\delta$来控制x的取值（逼近$x_0$）。

• $\lim_{x \to \infty} =A\ 代表\ \lim_{x \to +\infty} =A\ 且\ \lim_{x \to -\infty} =A$

• 海涅定理：f(x)在a处极限为A$\Leftrightarrow$对极限为a的数列$x_n$，$f(x_n)$的极限为A。有点难用。好像经常用于带三角函数的时候。

  • 可用于证明极限不存在或函数发散，只需找到一个数列，使得其极限落在a(或$\infty$)处，再把数列代入函数，证明其无穷大即可；或者找到两个数列极限落在a处，证明其极限不相等。
  • 其他应用场景限于个人能力尚不明确

• 唯一性同数列

• 局部有界性，局部保序性，局部保号性都是针对函数在a的邻域处的性质，内容基本同数列

• 同样有针对无穷的保序性、保号性，不知道能不能直接用

• 夹逼定理、单调有界函数单侧极限存在定理同数列

• 求极限常用到的两个重要极限：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\ ;\ \lim_{x \to +\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$$

• 常见等价无穷小：（注意x→0的前提！）

  $$\sin x\sim x,\ \tan x\sim x,\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^2$$

  $$\ln(1+x)\sim x,\ e^x-1\sim x,\ (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$$

  $$\arcsin x\sim x,\ \arctan x\sim x$$

  $$x-\sin x\sim \arcsin x-x\sim \frac{1}{6}x^3$$

  $$\tan x-x \sim x - \arctan x\sim \frac{1}{3}x^3$$

• 无穷小的计算时要注意相减时主部不能相消

连续函数

• 在$x_0$处连续：$f(x_0)$存在，$\lim_{x\to x_0}f(x)$存在，且两者相等。据此证明函数连续。
• 初等函数都连续，可以直接用。
• 左连续、右连续：包含该点。左连续&&右连续$\Leftrightarrow$连续
• 间断点分类：
  • 第一类间断点（左右极限均存在）：可去间断点（左右相等但中间未定义），可移间断点（左右相等但中间跳跃），跳跃间断点（左右不等）
  • 第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点（字面意思）
• 闭区间上连续函数的性质：
  • 有界性：闭区间，连续，则有界（离谱）
  • 最大值最小值定理：闭区间内肯定能选出最大和最小值（显然）
  • 零点存在定理
  • 介值定理：闭区间[a,b]上，对$\forall c\in [f(a),f(b)],\ \exists \xi\in[a,b]$ ，使得$f(\xi)=c$